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RC Teoría integradora de un circuito RC serie

Redes rc

Para un circuito de integrador RC pasivo, la entrada está conectada a una resistencia, mientras que la tensión de salida se toma a través de un condensador que es exactamente lo opuesto a la resistencia. Circuito diferenciador RC. El capacitor se carga cuando la entrada es alta y se descarga cuando la entrada es baja.

En electrónica, las series básicas conectadas.El circuito de resistencia-condensador (RC) tiene muchos usos y aplicaciones, desde circuitos básicos de carga / descarga hasta circuitos de filtro de alto orden. Este circuito pasivo de RC de dos componentes puede parecer bastante simple, pero dependiendo del tipo y la frecuencia de la señal de entrada aplicada, el comportamiento y la respuesta de este circuito de RC básico pueden ser muy diferentes.

Una red RC pasiva no es más que unresistencia en serie con un capacitor, que es una resistencia fija en serie con un capacitor que tiene una reactancia dependiente de la frecuencia que disminuye a medida que aumenta la frecuencia a través de sus placas. Por lo tanto, a bajas frecuencias, la reactancia, Xc del capacitor es alta, mientras que a altas frecuencias, su reactancia es baja debido a la fórmula de reactancia capacitiva estándar de Xc = 1 / (2πƒC), y vimos este efecto en nuestro tutorial sobre Filtros pasivos de paso bajo.

Entonces, si la señal de entrada es una onda sinusoidal, una integrador rc simplemente actuará como un simple filtro de paso bajo (LPF)con un corte o frecuencia de esquina que corresponde a la constante de tiempo RC (tau, τ) de la red en serie y cuya salida se reduce por encima de este punto de frecuencia de corte. Así, cuando se alimenta con una onda sinusoidal pura, un integrador RC actúa como un filtro pasivo de paso bajo.

Como hemos visto anteriormente, la constante de tiempo RCrefleja la relación entre la resistencia y la capacitancia con respecto al tiempo con la cantidad de tiempo, dada en segundos, siendo directamente proporcional a la resistencia, R y la capacitancia, C.

Por lo tanto, la velocidad de carga o descarga depende de la constante de tiempo RC, τ = RC. Considera el circuito de abajo.

Integrador RC

integrador rc

Para un circuito integrador RC, la señal de entrada se aplica a la resistencia con la salida tomada a través del condensador, luego VAFUERA es igual a Vdo. Como el condensador es dependiente de la frecuencia.elemento, la cantidad de carga que se establece en las placas es igual a la integral de dominio de tiempo de la corriente. Es decir, se necesita una cierta cantidad de tiempo para que el condensador se cargue por completo, ya que el condensador no puede cargarse instantáneamente, solo carga exponencialmente.

Por lo tanto la corriente del condensador se puede escribir como:

corriente del condensador

Esta ecuación básica arriba de ido = C (dVc / dt) también se puede expresar como la tasa instantánea de cambio de carga, Q con respecto al tiempo, lo que nos da la siguiente ecuación estándar de: ido = dQ / dt donde la carga Q = C x Vc, es decir, voltaje de capacitancia.

La velocidad a la que se carga el condensador (odescargas) es directamente proporcional a la cantidad de resistencia y capacitancia que proporciona la constante de tiempo del circuito. Por lo tanto, la constante de tiempo de un circuito integrador RC es el intervalo de tiempo que es igual al producto de R y C.

Dado que la capacitancia es igual a Q / Vc dondecarga eléctrica, Q es el flujo de una corriente (i) a lo largo del tiempo (t), que es el producto de ixt en coulombs, y por la ley de Ohms sabemos que el voltaje (V) es igual a ix R, sustituyéndolos en la ecuación Para la constante de tiempo RC da:

Constante de tiempo RC

constante de tiempo rc

Entonces podemos ver que tanto i como R se cancelan,solo T permanece indicando que la constante de tiempo de un circuito integrador RC tiene la dimensión del tiempo en segundos, y se le da la letra griega tau, τ. Tenga en cuenta que esta constante de tiempo refleja el tiempo (en segundos) requerido para que el condensador cargue hasta el 63.2% de la tensión máxima o descargue hasta el 36.8% de la tensión máxima.

Voltaje del condensador

voltaje del condensador

Dijimos anteriormente que para el integrador RC, la salida es igual al voltaje a través del capacitor, es decir: VAFUERA es igual a Vdo. Este voltaje es proporcional a la carga, Q se almacena en el condensador dado por: Q = VxC.

El resultado es que la tensión de salida es la integral de la tensión de entrada y la cantidad de integración depende de los valores de R y C y, por lo tanto, de la constante de tiempo de la red.

Vimos anteriormente que la corriente de los condensadores puede serExpresado como la tasa de cambio de carga, Q con respecto al tiempo. Por lo tanto, a partir de una regla básica de cálculo diferencial, la derivada de Q con respecto al tiempo es dQ / dt y como i = dQ / dt obtenemos la siguiente relación de:

Q = ∫idt (la carga Q en el capacitor en cualquier momento del tiempo)

Dado que la entrada está conectada a la resistencia, la misma corriente, debo pasar a través de la resistencia y el condensador (iR = ido) produciendo una VR caída de voltaje a través de la resistencia, por lo que la corriente, (i) que fluye a través de esta red RC serie se proporciona como:

corriente rc integrador

por lo tanto:

voltaje del integrador rc

Como i = VEN/ R, sustituyendo y reorganizando para resolver VAFUERA En función del tiempo da:

voltaje de salida del integrador rc

Entonces, en otras palabras, la salida de un circuito integrador RC, que es el voltaje a través del capacitor, es igual al tiempo Integral del voltaje de entrada, VEN ponderada por una constante de 1 / RC. Donde RC representa la constante de tiempo, τ.

Entonces, asumiendo que la carga inicial en el capacitor es cero, es decir VAFUERA = 0, y la tensión de entrada VEN es constante, la tensión de salida, VAFUERA Se expresa en el dominio del tiempo como:

Fórmula RC Integrator

fórmula integradora rc

Por lo tanto, un circuito integrador RC es aquel en el que la tensión de salida, VAFUERA es proporcional a la integral de la tensión de entrada, y con esto en mente, veamos qué sucede cuando aplicamos un solo impulso positivo en forma de tensión escalonada al circuito integrador RC.

Integrador de un solo pulso RC

Cuando se aplica un impulso de voltaje de un solo paso aEn la entrada de un integrador RC, el condensador se carga a través de la resistencia en respuesta al pulso. Sin embargo, la salida no es instantánea ya que el voltaje a través del capacitor no puede cambiar instantáneamente, pero aumenta exponencialmente a medida que el capacitor se carga a una velocidad determinada por la constante de tiempo RC, τ = RC.

voltaje de carga del condensador

Ahora sabemos que la velocidad a la que el condensadorLas cargas o las descargas están determinadas por la constante de tiempo RC del circuito. Si se aplica un impulso de tensión de paso ideal, es decir, si se considera que el borde anterior y el borde posterior son instantáneos, la tensión en el condensador aumentará para la carga y disminuirá para la descarga, exponencialmente a lo largo del tiempo a una velocidad determinada por:

Carga del condensador

ecuación de carga del condensador

Descarga del condensador

ecuación de descarga del condensador

Entonces, si asumimos un voltaje del capacitor de un voltio (1V), podemos trazar el porcentaje de carga o descarga del capacitor para cada constante de tiempo R individual como se muestra en la siguiente tabla.

Hora
Constante
Condensador
Cargando
Condensador
Descarga
τ % Cargado % De alta
0.5 39.4% 60.6%
0.7 50% 50%
1 63.2% 36.7%
2 86.4% 13.5%
3 95.0% 4.9%
4 98.1% 1.8%
5 99.3% 0.67%

Tenga en cuenta que, a 5 constantes de tiempo o más, se considera que el condensador está 100% cargado o descargado por completo.

Así que ahora asumamos que tenemos un circuito integrador RC que consiste en una resistencia de 100 kΩ y un condensador de 1uF como se muestra.

Ejemplo de circuito de integrador RC

ejemplo de circuito integrador rc

La constante de tiempo, τ del circuito integrador RC, por lo tanto, se da como: RC = 100kΩ x 1uF = 100ms.

Así que si aplicamos un pulso de tensión de paso a la entrada.con una duración de, digamos, dos constantes de tiempo (200 mS), luego, en la tabla anterior, podemos ver que el condensador se cargará al 86.4% de su valor completamente cargado. Si este pulso tiene una amplitud de 10 voltios, entonces esto equivale a 8,64 voltios antes de que el condensador vuelva a descargarse a través de la resistencia a la fuente cuando el pulso de entrada vuelva a cero.

Si asumimos que el capacitor está permitidodescargue completamente en un tiempo de 5 constantes de tiempo, o 500 ms antes de la llegada del siguiente pulso de entrada, luego el gráfico de las curvas de carga y descarga se vería así:

Curvas de carga / descarga del integrador RC

Curvas de carga y descarga integrador rc

Tenga en cuenta que el condensador se está descargando desde un valor inicial de 8.64 voltios (2 constantes de tiempo) y no desde la entrada de 10 voltios.

Entonces podemos ver que como la constante de tiempo RC esfija, cualquier variación en el ancho de pulso de entrada afectará la salida del circuito integrador RC. Si el ancho del pulso aumenta y es igual o mayor que 5RC, entonces la forma del pulso de salida será similar a la de la entrada, ya que el voltaje de salida alcanza el mismo valor que la entrada.

Sin embargo, si el ancho del pulso disminuye por debajo5RC, el condensador solo cargará parcialmente y no alcanzará el voltaje de entrada máximo, lo que resultará en un voltaje de salida más pequeño porque el condensador no podrá cargar tanto, lo que resultará en un voltaje de salida que es proporcional a la integral del voltaje de entrada.

Así que si asumimos un pulso de entrada igual a una vezconstante, es decir, 1RC, el condensador se cargará y descargará no entre 0 voltios y 10 voltios sino entre 63.2% y 38.7% del voltaje a través del condensador en el momento del cambio. Tenga en cuenta que estos valores están determinados por la constante de tiempo RC.

Constante de Tiempo RC Integrator Fijo

constante de tiempo del integrador rc

Así que para una entrada de pulso continuo, la correctaLa relación entre el tiempo periódico de la entrada y la constante de tiempo RC del circuito, la integración de la entrada se llevará a cabo produciendo una especie de rampa ascendente, y luego una salida de rampa descendente. Pero para que el circuito funcione correctamente como un integrador, el valor de la constante de tiempo RC debe ser grande en comparación con el tiempo periódico de las entradas. Eso es RC ≫ T, generalmente 10 veces mayor.

Esto significa que la magnitud de la salidaEl voltaje (que fue proporcional a 1 / RC) será muy pequeño entre sus voltajes altos y bajos, atenuando severamente el voltaje de salida. Esto se debe a que el condensador tiene mucho menos tiempo para cargar y descargar entre pulsos, pero el voltaje de CC de salida promedio aumentará hacia la mitad de la magnitud de la entrada y en nuestro ejemplo de pulso anterior, será de 5 voltios (10/2).

Integrador RC como generador de onda sinusoidal

Hemos visto más arriba que una Integrador RC El circuito puede realizar la operación de integración.al aplicar una entrada de pulso que resulta en una salida de onda triangular de rampa ascendente y descendente debido a las características de carga y descarga del condensador. Pero, ¿qué pasaría si invirtiéramos el proceso y aplicáramos una forma de onda triangular a la entrada, obtendríamos un pulso o una salida de onda cuadrada?

Cuando la señal de entrada a un circuito integrador RCEs una entrada en forma de pulso, la salida es una onda triangular. Pero cuando aplicamos una onda triangular, la salida se convierte en una onda sinusoidal debido a la integración en el tiempo de la señal de rampa.

Hay muchas formas de producir un sinusoidal.forma de onda, pero una forma simple y barata de producir electrónicamente una forma de onda del tipo de ondas sinusoidales es utilizar un par de circuitos de integrador RC pasivos conectados en serie como se muestra.

Integrador de onda sinusoidal RC

integrador de onda sinusoidal rc

Aquí el primer integrador RC convierte elentrada original en forma de pulso en una forma de onda triangular de rampa de subida y bajada que se convierte en la entrada del segundo integrador RC. Este segundo circuito integrador RC redondea los puntos de la forma de onda triangular convirtiéndolo en una onda sinusoidal, ya que está realizando efectivamente una doble integración en la señal de entrada original con la constante de tiempo RC que afecta el grado de integración.

Como la integración de una rampa produce un senofunción, (básicamente una forma de onda triangular redondeada) su frecuencia periódica en Hertz será igual al período T del pulso original. Tenga en cuenta también que si invertimos esta señal y la señal de entrada es una onda sinusoidal, el circuito no actúa como un integrador, sino como un simple filtro de paso bajo (LPF) con la onda sinusoidal, siendo una forma de onda pura que no cambia de forma. Sólo se afecta su amplitud.

Resumen del integrador RC

Hemos visto aquí que el integrador RC esbásicamente, un circuito de filtro de paso bajo de la serie RC que, cuando se aplica un impulso de voltaje escalonado a su entrada, produce una salida proporcional a la integral de su entrada. Esto produce una ecuación estándar de: Vo = ∫Vidt donde Vi es la señal que se envía al integrador y Vo es la señal de salida integrada.

La integración de la función de paso de entrada.produce una salida que se asemeja a una función de rampa triangular con una amplitud menor que la de la entrada de pulso original con la cantidad de atenuación determinada por la constante de tiempo. Por lo tanto, la forma de la forma de onda de salida depende de la relación entre la constante de tiempo del circuito y la frecuencia (período) del pulso de entrada.

Una constante de tiempo de integradores RC es siempreen comparación con el período, T de la entrada, por lo que una constante de tiempo RC larga producirá una forma de onda triangular con una amplitud baja en comparación con la señal de entrada, ya que el capacitor tiene menos tiempo para cargarse o descargarse por completo. Una pequeña constante de tiempo permite al capacitor más tiempo para cargar y descargar, lo que produce una forma redondeada más típica.

Conectando dos circuitos integradores RC juntosEn paralelo tiene el efecto de una doble integración en el pulso de entrada. El resultado de esta doble integración es que el primer circuito integrador convierte el pulso de voltaje escalonado en una forma de onda triangular y el segundo circuito integrador convierte la forma de onda triangular redondeando los puntos de la forma de onda triangular produciendo una forma de onda de salida de onda sinusoidal con una gran reducción. amplitud.

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