/ / Komplekse tall og fasorer i polar eller rektangulær form

Komplekse tall og fasorer i polar eller rektangulær form

AC kretser

Men ekte tall er ikke den eneste typen tall vi må bruke spesielt når det gjelder frekvensavhengige sinusformede kilder og vektorer. I tillegg til å bruke normale eller reelle tall, Komplekse tall ble introdusert for å tillate komplekse ligninger å bli løst med tall som er kvadratrøttene av negative tall, √-1.

I elektroteknikk kalles denne typen nummer som et "imaginært tall" og å skille et imaginært tall fra et ekte tall, bokstaven "j" kjent vanligvis innen elektroteknikk som j-operator, benyttes. Dermed er bokstaven "j" plassert foran et reelt tall for å indikere sin imaginære talloperasjon.

Eksempler på imaginære tall er: j3, j12, j100 osv. Så a komplekst tall består av to forskjellige men veldig mye beslektede deler, et "Real Number" pluss et "Imaginary Number".

Komplekse tall representere poeng i et todimensjonalt kompleks ellers-planet som refereres til to forskjellige akser. Den horisontale akse kalles "ekte akse" mens den vertikale aksen kalles "imaginær akse". De reelle og imaginære delene av et komplekst tall forkortes henholdsvis som henholdsvis Re (z) og Im (z).

Komplekse tall som består av ekte (theaktiv komponent) og imaginære (reaktive komponent) tallene kan legges, subtraheres og brukes på nøyaktig samme måte som elementaralgebra brukes til å analysere DC-kretser.

Reglene og lovene som brukes i matematikk fortillegg eller subtraksjon av imaginære tall er det samme som for reelle tall, j2 + j4 = j6 etc. Den eneste forskjellen er i multiplikasjon fordi to imaginære tall multiplisert sammen blir et negativt reelt tall. Reelle tall kan også betraktes som et komplekst tall, men med en null imaginær del merket j0.

De j-operator har en verdi som er nøyaktig lik √-1, så suksessivmultiplikasjon av "j", (j x j) vil resultere i j som har følgende verdier av, -1, -j og +1. Som j-operatøren er vanligvis brukt til å indikere moturs-rotasjonen av en vektor, vil hver suksessiv multiplikasjon eller kraft av "j", j2, j3 etc, vil tvinge vektoren til å rotere gjennom en fast vinkel på 90o i moturs retning som vist nedenfor. På samme måte, hvis multiplikasjonen av vektoren resulterer i en -j-operatør, vil faseskiftet være -90o, det vil si en rotasjon med urviseren.

Vektorrotasjon av j-operatøren

Vektorrotasjon av j-operatøren i komplekse tall

Så ved å multiplisere et imaginært tall med j2 vil rotere vektoren med 180o moturs, multiplisere med j3 roterer det 270o og av j4 roterer det 360o eller tilbake til sin opprinnelige posisjon. Multiplikasjon av j10 eller av j30 vil føre til at vektoren roterer mot urviseren med riktig beløp. I hver suksessiv rotasjon forblir størrelsen på vektoren alltid den samme.

I Elektroteknikk er det forskjellige måter å representere et komplekst nummer enten grafisk eller matematisk på. En slik måte som bruker cosinus og sinusregelen kalles kartesiske eller Rektangulær form.

Komplekse tall ved hjelp av rektangulær form

I den siste opplæringen om Phasors så vi at et komplekst tall representeres av en reell del og en imaginær del som tar generalisert form av:

Kompleks nummerformat
  • Hvor:
  • Z - er kompleksnummeret som representerer vektoren
  • x - er den reelle delen eller den aktive komponenten
  • y - er den imaginære delen eller den reaktive komponenten
  • j - er definert av √-1

I rektangulær form kan et komplekst tall representeres som et punkt på et todimensjonalt plan kalt komplekse eller s-planet. Så for eksempel representerer Z = 6 + j4 et enkeltpunkt hvis koordinater representerer 6 på den horisontale reelle akse og 4 på den vertikale imaginære akse som vist.

Komplekse tall ved hjelp av komplekset eller s-flyet

kompleks nummerrepresentasjon

Men som både de reelle og imaginære delene av akomplekst tall i rektangulær form kan enten være et positivt tall eller et negativt tall, da må både den virkelige og imaginære akse også strekke seg i både positive og negative retninger. Dette produserer så et komplekst fly med fire kvadranter kalt an Argand Diagram som vist under.

Fire Quadrant Argand Diagram

fire kvadrantdiagram

På Argand-diagrammet, den horisontale akserepresenterer alle positive reelle tall til høyre for den vertikale imaginære akse og alle negative reelle tall til venstre for den vertikale imaginære aksen. Alle positive imaginære tall er representert over den horisontale akse mens alle de negative imaginære tallene er under den horisontale reelle akse. Dette produserer deretter et todimensjonalt kompleksfly med fire forskjellige kvadranter merket QI, QII, QIII og QIV.

Argand diagrammet ovenfor kan også brukes tilrepresenterer en roterende fasor som et punkt i det komplekse planet hvis radius er gitt av størrelsen på fasoren, vil tegne en full sirkel rundt den for hver 2π / u sekunder.

Da kan vi utvide denne ideen ytterligere for å vise definisjonen av et komplekst tall i både polar og rektangulær form for rotasjoner på 90o.

Definisjon av komplekse tall

Komplekse tall kan også ha "null" ekte eller imaginære deler sliksom: Z = 6 + j0 eller Z = 0 + j4. I dette tilfellet er punktene plottet direkte på den virkelige eller imaginære akse. Vinkelen til et komplekst tall kan også beregnes ved hjelp av enkel trigonometri for å beregne vinklene til rettvinklede trekanter, eller måles mot urviseren rundt Argand-diagrammet fra den positive reelle akse.

Deretter vinkler mellom 0 og 90o vil være i den første kvadranten (I), vinkler (θ) mellom 90 og 180o i den andre kvadranten (II). Den tredje kvadranten (III) inkluderer vinkler mellom 180 og 270o mens den fjerde og endelige kvadranten (IV) som fullfører hele sirkelen, inneholder vinklene mellom 270 og 360o og så videre. I alle fire kvadranter kan de relevante vinklene finnes fra:

tan-1(imaginær komponent ÷ ekte komponent)

Tilsetning og subtraksjon av komplekse tall

Tilsetningen eller subtraksjonen av komplekse tallkan gjøres enten matematisk eller grafisk i rektangulær form. For tillegg blir de reelle delene først lagt sammen for å danne den virkelige delen av summen, og deretter er de imaginære delene som danner den imaginære delen av summen, og denne prosessen er som følger ved å bruke to komplekse tall A og B som eksempler.

Kompleks tillegg og subtraksjon

kompleks nummer tillegg

Komplekse tall Eksempel No1

To vektorer er definert som henholdsvis A = 4 + j1 og B = 2 + j3. Bestem summen og forskjellen mellom de to vektorene i både rektangulær form (a + jb) og grafisk som et Argand Diagram.

Matematisk tillegg og subtraksjon

Addisjon

vektor tillegg

Subtraksjon

vektor subtraksjon

Grafisk tillegg og subtraksjon

grafisk tillegg

Multiplikasjon og deling av komplekse tall

Multiplikasjonen av komplekse tall irektangulær form følger mer eller mindre de samme reglene som for normal algebra sammen med noen tilleggsregler for den påfølgende multiplikasjon av j-operatøren hvor: j2 = -1. Så for eksempel å multiplisere sammen våre to vektorer ovenfra av A = 4 + j1 og B = 2 + j3 gir oss følgende resultat.

vektormultiplikasjon

Matematisk deling av komplekse talli rektangulær form er litt vanskeligere å utføre som det krever bruk av denominators-konjugatfunksjonen for å konvertere nevneren til ligningen til et reelt tall. Dette kalles "rasjonalisering". Derefter blir delingen av komplekse tall best utført ved hjelp av "Polar Form", som vi vil se på senere. Som et eksempel i rektangulær form kan vi imidlertid finne verdien av vektor A divisjonert med vektor B.

vektor divisjon

Den komplekse konjugat

De Kompleks konjugat, eller bare konjugat av et komplekst tall er funnet ved å reverserealgebraisk tegn på det komplekse tallet imaginært tall bare mens du holder det algebraiske tegnet av det reelle tall det samme og for å identifisere det komplekse konjugatet av z, brukes symbolet z. For eksempel er konjugatet av z = 6 + j4 z = 6 - j4, på samme måte er konjugatet av z = 6 - j4 z = 6 + j4.

Poengene på Argand-diagrammet for et komplekstkonjugat har samme horisontale posisjon på den reelle akse som det opprinnelige komplekse tallet, men motsatt vertikale posisjoner. Således kan komplekse konjugater betraktes som en refleksjon av et komplekst tall. Følgende eksempel viser et komplekst tall, 6 + j4 og dets konjugat i kompleksplanet.

Konjugat Komplekse Tall

komplekst konjugat

Summen av et komplekst tall og dets kompleksekonjugat vil alltid være et reelt tall som vi har sett ovenfor. Da gir tillegget til et komplekst tall og dets konjugat bare resultatet som et reelt tall eller en aktiv komponent, mens deres subtraksjon bare gir et imaginært tall eller en reaktiv komponent. Konjugatet av et komplekst tall er et viktig element som brukes i Elektroteknikk for å bestemme den tilsynelatende effekten av en vekselstrømskrets ved hjelp av rektangulær form.

Komplekse tall ved hjelp av polarform

I motsetning til rektangulær form som tomter peker i det komplekse planet, Polar Form av et komplekst tall er skrevet i form av sinstørrelse og vinkel. Dermed presenteres en polarformvektor som: Z = A ∠ ± θ, hvor: Z er det komplekse tallet i polarform, A er størrelsen eller modulo av vektoren og θ er dens vinkel eller argument for A som kan enten være positiv eller negativ. Størrelsen og vinkelen til punktet forblir fortsatt den samme som for den rektangulære formen over, denne gangen i polarform er plasseringen av punktet representert i en "trekantet form" som vist nedenfor.

Polarform representasjon av et komplekst nummer

komplekst tall i polar form

Som polarrepresentasjonen av et punkt er basertrundt triangulær form kan vi bruke enkel geometri av trekanten og spesielt trigonometri og Pythagoras teorem på trekanter for å finne både størrelsen og vinkelen til det komplekse tallet. Som vi husker fra skolen, behandler trigonometri forholdet mellom sidene og trekantets vinkler, slik at vi kan beskrive sammenhengen mellom sidene som:

trigonometri forhold

Ved hjelp av trigonometri igjen er vinkelen θ av A gitt som følger.

polar form vinkel

Deretter i Polar form lengden på A og dens vinkelrepresenterer det komplekse tallet i stedet for et punkt. Også i polar form har konjugatet av det komplekse tallet samme størrelsesorden eller modulen som det er tegnet av vinkelen som endres, så for eksempel konjugatet på 6 ∠30o ville være 6 ∠- 30o.

Konvertering mellom rektangulær form og polarform

I rektangulær form kan vi uttrykke en vektori form av sine rektangulære koordinater, med den horisontale aksen som dens virkelige akse og den vertikale akse er dens imaginære akse eller j-komponent. I polar form er disse reelle og imaginære aksene ganske enkelt representert av "A ∠θ". Ved å bruke vårt eksempel ovenfor kan forholdet mellom rektangulær form og polarform defineres som.

Konvertere polarform til rektangulær form, (P → R)

kompleks nummer konvertering

komplekst tall til rektangulært

Vi kan også konvertere tilbake fra rektangulær form til polarform som følger.

Konvertere rektangulær form til polarform, (R → P)

komplekst tall til polar

Polarform Multiplikasjon og Divisjon

Rektangulær form er best for å legge til ogsubtraherer komplekse tall som vi så over, men polarform er ofte bedre for multiplikasjon og deling. For å formere to vektorer i polarform må vi først multiplisere sammen de to modulene eller størrelsene og deretter legge sammen vinklene deres.

Multiplikasjon i polarform

Multiplikasjon i polarform

Multiplikere sammen 6 ∠30o og 8 ∠- 45o i polar form gir oss.

polarform multiplikasjon

Divisjon i polarform

På samme måte, å dele sammen to vektorer i polarform, må vi dele de to modulene og deretter trekke deres vinkler som vist.

Divisjon i polarform

polar form divisjon

Heldigvis dagens moderne vitenskapelige kalkulatorerhar innebygd matematiske funksjoner (se boken din) som muliggjør enkel omforming av rektangulær til polarform, (R → P) og tilbake fra polar til rektangulær form, (R → P).

Komplekse tall ved bruk av eksponentiell form

Så langt har vi vurdert komplekse tall i Rektangulær form, (a + jb) og Polar Form, (A ∠ ± θ). Men det finnes også en tredje metode for å representere et komplekst tall som ligner polarformen som tilsvarer lengden (størrelsen) og fasevinkelen til sinusoidet, men bruker basen av den naturlige logaritmen, e = 2,718 281 .. for å finne verdien av det komplekse tallet. Denne tredje metoden kalles Eksponentiell form.

De Eksponentiell form bruker de trigonometriske funksjonene til begge sinusene(sin) og cosinus (cos) -verdiene av en rettvinklet trekant for å definere kompleks eksponensiell som rotasjonspunkt i kompleksplanet. Den eksponentielle formen for å finne posisjonen til punktet er basert rundt Eulers identitet, oppkalt etter sveitsisk matematiker, Leonhard Euler og er gitt som:

Eksponentiell form

Da kan Eulers identitet representeres av følgende roterende fasordiagram i kompleksplanet.

komplekse tall i eksponentiell form

Vi kan se at Eulers identitet er veldig lik polarformen ovenfor, og at det viser oss at et nummer som Ae som har en størrelsesorden på 1 er også et komplekst tall. Ikke bare kan vi konvertere komplekse tall som er i eksponentiell form lett inn i polarform som: 2e J30 = 2∠30, 10e J120 = 10∠120 eller -6e j90 = -6∠90, men Eulers identitet gir oss også en måteå konvertere et komplekst tall fra sin eksponensielle form til sin rektangulære form. Da er forholdet mellom eksponentiell, polar og rektangulær form i definisjon av et komplekst tall gitt som.

Komplekse tallformer

kompleks nummer forhold

Phasor Notation

Så langt har vi se på forskjellige måter årepresenterer enten en roterende vektor eller en stasjonær vektor ved å bruke komplekse tall for å definere et punkt på kompleksplanet. Phasor notasjon er prosessen med å konstruere et enkelt komplekst tall som har amplituden og fasevinkelen av den givne sinusformede bølgeformen.

Deretter overfører fasordesignasjon eller fasetransformasjon som den noen ganger kalles den virkelige delen av sinusformet funksjon: A(T) = Am cos (ωt ± Φ) fra tidsdomene til det komplekse talldomenet som også kalles frekvensdomenet. For eksempel:

komplekst tall i eksponentiell form

Vær oppmerksom på at √2 konverterer maksimal amplitude til en effektiv eller RMS-verdi med fasevinkelen gitt i radianer, (ω).

Sammendrag av komplekse tall

Så å oppsummere denne opplæringen om Komplekse tall og bruk av komplekse tall i elektroteknikk.

  • Komplekse tall består av to forskjellige tall, et ekte tall pluss et imaginært tall.
  • Imaginære tall skiller seg fra et reelt tall ved bruk av j-operatøren.
  • Et tall med bokstaven "j" foran den identifiserer det som et imaginært tall i det komplekse planet.
  • Per definisjon er j-operatøren j ≡ √-1
  • Imaginære tall kan legges, subtraheres, multipliseres og deles det samme som reelle tall.
  • Multiplikasjonen av "j" med "j" gir j2 = -1
  • I rektangulært form er et komplekst tall representert ved et punkt i rommet på det komplekse planet.
  • I polarform er et komplekst tall representert av en linje hvis lengde er amplitude og av fasevinkelen.
  • I eksponentiell form er et komplekst tall representert av en linje og tilsvarende vinkel som bruker basen av den naturlige logaritmen.
  • Et komplekst tall kan representeres på en av tre måter:
    • Z = x + du »Rektangulær form
    • Z = A ∠Φ »Polarform
    • Z = A e »Eksponentiell Form
  • Eulers identitet kan brukes til å konvertere komplekse tall fra eksponensiell form til rektangulær form.

I de tidligere opplæringsprogrammene, inkludert denne vihar sett at vi kan bruke fasorer til å representere sinusformede bølgeformer, og at deres amplitude og fasevinkel kan skrives i form av et komplekst tall. Vi har også sett det Komplekse tall kan presenteres i rektangulær, polar eller eksponentiell form med konvertering mellom hver komplekse algebraform, inkludert tillegg, subtrahering, multiplikasjon og divisjon.

I de neste få opplæringene knyttet til fasorenforholdet i AC-serie kretser, vil vi se på impedansen til noen vanlige passive kretskomponenter og tegne fasordiagrammer for både strømmen som strømmer gjennom komponenten og spenningen som påføres over det som starter med AC-motstanden.

Kommentarer (0)
Legg til en kommentar