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Leyes de álgebra booleana y reglas de álgebra booleana

álgebra de Boole

Además de los símbolos lógicos "0" y "1" que se utilizan para representar una entrada o salida digital, también podemos usarlos como constantes para un circuito o contacto "Abierto" o "Cerrado" de forma permanente, respectivamente.

Un conjunto de reglas o leyes de álgebra booleana.se han inventado expresiones para ayudar a reducir el número de compuertas lógicas necesarias para realizar una operación lógica particular, lo que da como resultado una lista de funciones o teoremas conocidos comúnmente como Leyes de algebra booleana.

Álgebra de Boole Es la matemática que utilizamos para analizar lo digital.Puertas y circuitos. Podemos usar estas "Leyes de Boolean" para reducir y simplificar una expresión booleana compleja en un intento por reducir el número de puertas lógicas requeridas. Álgebra de Boole Por lo tanto, es un sistema de matemáticas basado en lógica que tiene su propio conjunto de reglas o leyes que se utilizan para definir y reducir expresiones booleanas.

Las variables utilizadas en Álgebra de Boole Solo tiene uno de los dos valores posibles, un "0" lógico.y un "1" lógico, pero una expresión puede tener un número infinito de variables, todas etiquetadas individualmente para representar entradas a la expresión, por ejemplo, las variables A, B, C, etc., lo que nos da una expresión lógica de A + B = C, pero Cada variable SOLO puede ser un 0 o un 1.

En la siguiente tabla se proporcionan ejemplos de estas leyes individuales de Boolean, reglas y teoremas para el Álgebra Booleana.

Tablas de la verdad para las leyes de Boolean

Booleano
Expresión
Descripción Equivalente
Circuito de conmutacion
Álgebra de Boole
Ley o Regla
A + 1 = 1 A en paralelo con
cerrado = "CERRADO"
circuito paralelo universal
Anulación
A + 0 = A A en paralelo con
abierto = "A"
paralelo universal
Identidad
A . 1 = A A en serie con
cerrado = "A"
circuito de la serie universal
Identidad
A . 0 = 0 A en serie con
open = "OPEN"
serie universal
Anulación
A + A = A A en paralelo con
A = "A"
circuito paralelo idempotente
Idempotente
A . A = A A en serie con
A = "A"
circuito de serie idempotente
Idempotente
NO A = A NO NO A
(doble negativo) = "A"
Doble negacion
A + A = 1 A en paralelo con
NO A = "CERRADO"
circuito paralelo complementario
Complemento
A . A = 0 A en serie con
NO A = "ABIERTO"
circuito serie complementaria
Complemento
A + B = B + A A en paralelo con B =
B en paralelo con A
circuito paralelo de absorción
Conmutativo
A.B = B.A A en serie con B =
B en serie con A
circuito de series de absorción
Conmutativo
A + B = A.B invertir y reemplazar O con AND Teorema de Morgan
A.B = A + B invertir y reemplazar Y con O Teorema de Morgan

Lo básico Leyes de algebra booleana que se relacionan con el Ley conmutativa permitiendo un cambio de posición para la suma y la multiplicación, la Ley asociativa permitiendo la eliminación de corchetes para la suma y la multiplicación, así como la Ley distributiva Permitiendo la factorización de una expresión, son los mismos que en el álgebra ordinaria.

Cada una de las Leyes booleanas Los anteriores se dan con solo uno o dosvariables, pero el número de variables definidas por una sola ley no se limita a esto, ya que puede haber un número infinito de variables como entradas también la expresión. Estas leyes booleanas detalladas anteriormente se pueden usar para probar cualquier expresión booleana dada, así como para simplificar circuitos digitales complicados.

Una breve descripción de los diversos Leyes de Boolean se dan a continuación con A representando una entrada variable.

Descripción de las leyes del álgebra booleana

  • Ley de anulación - Un término AND´ed con un “0” es igual a 0 u OR´ed con un “1” será igual a 1
    • A . 0 = 0 Una variable AND'ed con 0 es siempre igual a 0
    • A + 1 = 1 Una variable OR’ed con 1 es siempre igual a 1
  • Ley de identidad - Un término OR´ed con un “0” o AND´ed con un “1” siempre será igual a ese término
    • A + 0 = A Una variable OR’ed con 0 es siempre igual a la variable
    • A . 1 = A Una variable AND'ed con 1 es siempre igual a la variable
  • Ley idempotente - Una entrada que está AND'ed u OR´ed consigo misma es igual a esa entrada
    • A + A = A Una variable OR’ed consigo misma es siempre igual a la variable
    • A . A = A Una variable AND'ed consigo misma es siempre igual a la variable
  • Ley de complemento - Un término AND´ed con su complemento es igual a “0” y un término OR´ed con su complemento es igual a “1”
    • A . A = 0 Una variable AND'ed con su complemento es siempre igual a 0
    • A + A = 1 Una variable OR’ed con su complemento es siempre igual a 1
  • Ley conmutativa - El orden de aplicación de dos términos separados no es importante
    • A . B = B. A El orden en el que dos variables son AND’ed no hace ninguna diferencia
    • A + B = B + A El orden en el que dos variables están OR’ed no hace ninguna diferencia
  • Ley de doble negacion - Un término que se invierte dos veces es igual al término original
    • A = A Un complemento doble de una variable es siempre igual a la variable
  • Teorema de Morgan - Hay dos reglas o teoremas de "de Morgan",
  • (1) Dos términos separados NOR´ juntos son los mismos que los dos términos invertidos (Complemento) y AND´ed por ejemplo: A + B = A. segundo
  • (2) Dos términos separados NAND´ juntos son los mismos que los dos términos invertidos (Complemento) y OR´ed por ejemplo: A.B = A + B

Otras leyes algebraicas de Boolean no detalladas anteriormente incluyen:

  • Ley distributiva - Esta ley permite la multiplicación o factorización de una expresión.
    • A (B + C) = A.B + A.C (O ley distributiva)
    • A + (B.C) = (A + B). (A + C) (Y ley distributiva)
  • Ley de absorción - Esta ley permite una reducción de una expresión complicada a una más simple mediante la absorción de términos semejantes.
    • A + (A.B) = A (O Ley de absorción)
    • A (A + B) = A (Y ley de absorción)
  • Ley asociativa - Esta ley permite eliminar corchetes de una expresión y reagrupar las variables.
    • A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (O ley asociada)
    • A (B.C) = (A.B) C = A. B. C (Y Ley Asociada)

Funciones de álgebra booleana

Utilizando la información anterior, las puertas AND, OR y NOT simples de 2 entradas pueden representarse mediante 16 funciones posibles, como se muestra en la siguiente tabla.

Función Descripción Expresión
1. NULO 0
2. IDENTIDAD 1
3. Entrada A UNA
4. Entrada B segundo
5. NO UN UNA
6. NO ES B segundo
7. A y B (y) A . segundo
8. A y no b A . segundo
9. NO AY B A . segundo
10. NO Y (NAND) A . segundo
11. A O B (O) A + B
12. A o no b A + B
13. NO A O B A + B
14. NO O (NOR) A + B
15. Exclusivo o A . B + A. segundo
16. Exclusivo-NOR A . B + A. segundo

Leyes del Álgebra Booleana Ejemplo No1

Usando las leyes anteriores, simplifique la siguiente expresión: (A + B) (A + C)

Q = (A + B). (A + C)
A.A + A.C + A.B + B.C - Ley distributiva
A + A.C + A.B + B.C - Idempotente Y ley (A.A = A)
A (1 + C) + A.B + B.C - Ley distributiva
A.1 + A.B + B.C - Identidad o ley (1 + C = 1)
A (1 + B) + B.C - Ley distributiva
A.1 + B.C - Identidad o ley (1 + B = 1)
Q = A + (B.C) - Identidad y ley (A.1 = A)

Luego, la expresión: (A + B) (A + C) se puede simplificar a A + (B.C) como en la ley distributiva.

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