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Números complejos y fasores en forma polar o rectangular

Circuitos de ca

Pero los números reales no son el único tipo de números que debemos usar, especialmente cuando se trata de fuentes y vectores sinusoidales dependientes de la frecuencia. Además de usar números normales o reales, Números complejos se introdujeron para permitir resolver ecuaciones complejas con números que son las raíces cuadradas de los números negativos, √-1.

En ingeniería eléctrica, este tipo de número se denomina “número imaginario” y para distinguir un número imaginario de un número real, la letra “j”, conocida comúnmente en ingeniería eléctrica como j-operador, se utiliza. Por lo tanto, la letra "j" se coloca delante de un número real para indicar su operación de número imaginario.

Ejemplos de números imaginarios son: j3, j12, j100, etc. Luego, una Número complejo consiste en dos partes distintas pero muy relacionadas, un "Número Real" más un "Número Imaginario".

Números complejos representar puntos en un complejo de dos dimensiones oPlano s que están referenciados a dos ejes distintos. El eje horizontal se denomina "eje real", mientras que el eje vertical se denomina "eje imaginario". Las partes reales e imaginarias de un número complejo se abrevian como Re (z) e Im (z), respectivamente.

Los números complejos que se componen de real (elEl componente activo) y los números imaginarios (el componente reactivo) se pueden sumar, restar y usar exactamente de la misma manera que el álgebra elemental se usa para analizar los circuitos DC.

Las reglas y leyes utilizadas en matemáticas para lala suma o resta de números imaginarios es la misma que para los números reales, j2 + j4 = j6, etc. La única diferencia está en la multiplicación porque dos números imaginarios multiplicados juntos se convierten en un número real negativo. Los números reales también se pueden considerar como un número complejo pero con una parte imaginaria de cero etiquetada como j0.

los j-operador tiene un valor exactamente igual a √-1, tan sucesivola multiplicación de "j", (j x j) dará como resultado que j tenga los siguientes valores de, -1, -j y +1. Como el operador j se usa comúnmente para indicar la rotación en sentido antihorario de un vector, cada multiplicación o potencia sucesiva de "j", j2, j3 etc., forzará al vector a rotar en un ángulo fijo de 90o en sentido contrario a las agujas del reloj como se muestra a continuación. Del mismo modo, si la multiplicación del vector da como resultado un operador -j, el cambio de fase será -90o, es decir, una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Rotación vectorial del operador j

Rotación vectorial del operador j en números complejos

Entonces multiplicando un número imaginario por j2 girará el vector por 180o a la izquierda, multiplicando por j3 rota 270o y por j4 rota 360o o volver a su posición original. Multiplicación por j10 o por j30 hará que el vector gire en sentido antihorario en la cantidad apropiada. En cada rotación sucesiva, la magnitud del vector siempre permanece igual.

En Ingeniería Eléctrica hay diferentes formas de representar un número complejo de forma gráfica o matemática. Una de esas formas que usa la regla del coseno y el seno se llama el cartesiano o Forma rectangular.

Números complejos usando la forma rectangular

En el último tutorial sobre Phasors, vimos que un número complejo está representado por una parte real y una parte imaginaria que toma la forma generalizada de:

Formato de número complejo
  • Dónde:
  • Z - es el número complejo que representa el vector
  • x - es la parte real o el componente activo
  • y - es la parte imaginaria o el componente reactivo
  • j - se define por √-1

En la forma rectangular, un número complejo se puede representar como un punto en un plano bidimensional llamado el complejo o plano s. Entonces, por ejemplo, Z = 6 + j4 representa un punto único cuyas coordenadas representan 6 en el eje horizontal real y 4 en el eje imaginario vertical como se muestra.

Números complejos usando el complejo o plano s

representación de números complejos

Pero como ambas partes reales e imaginarias de unel número complejo en la forma rectangular puede ser un número positivo o un número negativo, entonces tanto el eje real como el imaginario también deben extenderse en las direcciones positiva y negativa. Esto produce un plano complejo con cuatro cuadrantes llamado Diagrama de Argand Como se muestra abajo.

Diagrama de Argand de cuatro cuadrantes

diagrama de cuatro cuadrantes

En el diagrama de Argand, el eje horizontalrepresenta todos los números reales positivos a la derecha del eje imaginario vertical y todos los números reales negativos a la izquierda del eje imaginario vertical. Todos los números imaginarios positivos se representan por encima del eje horizontal, mientras que todos los números imaginarios negativos están por debajo del eje horizontal real. Esto produce un plano complejo bidimensional con cuatro cuadrantes distintos etiquetados, QI, QII, QIII y QIV.

El diagrama de Argand anterior también se puede utilizar pararepresenta un fasor giratorio como un punto en el plano complejo cuyo radio viene dado por la magnitud del fasor dibujará un círculo completo a su alrededor por cada 2π / segundos.

Luego podemos ampliar esta idea para mostrar la definición de un número complejo tanto en forma polar como rectangular para rotaciones de 90o.

definición de números complejos

Números complejos También puede tener "cero" partes reales o imaginarias tales comocomo: Z = 6 + j0 o Z = 0 + j4. En este caso, los puntos se trazan directamente en el eje real o imaginario. Además, el ángulo de un número complejo se puede calcular utilizando una trigonometría simple para calcular los ángulos de los triángulos rectángulos, o se puede medir en sentido antihorario alrededor del diagrama de Argand a partir del eje real positivo.

Luego los ángulos entre 0 y 90o estará en el primer cuadrante (I), ángulos (θ) entre 90 y 180o En el segundo cuadrante (II). El tercer cuadrante (III) incluye ángulos entre 180 y 270o mientras que el cuarto y último cuadrante (IV) que completa el círculo completo, incluye los ángulos entre 270 y 360o y así. En los cuatro cuadrantes se pueden encontrar ángulos relevantes de:

bronceado-1(componente imaginario component componente real)

Suma y resta de números complejos

La suma o resta de números complejos.Se puede hacer matemática o gráficamente en forma rectangular. Además, las partes reales se suman primero para formar la parte real de la suma, y ​​luego las partes imaginarias para formar la parte imaginaria de la suma y este proceso es el siguiente, usando dos números complejos A y B como ejemplos.

Suma y resta complejas

suma de números complejos

Números complejos Ejemplo No1

Dos vectores se definen como, A = 4 + j1 y B = 2 + j3 respectivamente. Determine la suma y la diferencia de los dos vectores en forma rectangular (a + jb) y gráficamente como un Diagrama de Argand.

Suma y resta matemática

Adición

Suma de vectores

Sustracción

resta de vectores

Suma y resta gráfica

adición gráfica

Multiplicación y división de números complejos

La multiplicación de números complejos en ella forma rectangular sigue más o menos las mismas reglas que para el álgebra normal junto con algunas reglas adicionales para la multiplicación sucesiva del operador j donde: j2 = -1. Entonces, por ejemplo, multiplicando juntos nuestros dos vectores de A = 4 + j1 y B = 2 + j3, obtendremos el siguiente resultado.

multiplicación de vectores

Matemáticamente, la división de números complejos.en forma rectangular es un poco más difícil de realizar, ya que requiere el uso de la función de conjugación de denominadores para convertir el denominador de la ecuación en un número real. Esto se llama "racionalizar". Luego, la división de números complejos se realiza mejor utilizando la "Forma Polar", que veremos más adelante. Sin embargo, como ejemplo en forma rectangular, podemos encontrar el valor del vector A dividido por el vector B.

división de vectores

El complejo conjugado

los Complejo conjugado, o simplemente Conjugado de un número complejo se encuentra invirtiendo elsigno algebraico de los números complejos número imaginario solo mientras se mantiene el signo algebraico del número real igual y para identificar el conjugado complejo de z se usa el símbolo z. Por ejemplo, el conjugado de z = 6 + j4 es z = 6 - j4, igualmente el conjugado de z = 6 - j4 es z = 6 + j4.

Los puntos en el diagrama de Argand para un complejo.los conjugados tienen la misma posición horizontal en el eje real que el número complejo original, pero las posiciones verticales opuestas. Por lo tanto, los conjugados complejos pueden considerarse como un reflejo de un número complejo. El siguiente ejemplo muestra un número complejo, 6 + j4 y su conjugado en el plano complejo.

Números complejos conjugados

complejo conjugado

La suma de un número complejo y su complejo.El conjugado siempre será un número real como hemos visto anteriormente. Luego, la adición de un número complejo y su conjugado da el resultado solo como un número real o componente activo, mientras que su sustracción proporciona un número imaginario o componente reactivo solamente. El conjugado de un número complejo es un elemento importante usado en Ingeniería Eléctrica para determinar la potencia aparente de un circuito de CA que usa una forma rectangular.

Números complejos usando la forma polar

A diferencia de la forma rectangular que traza puntos en el plano complejo, la Forma polar de un número complejo está escrito en términos de sumagnitud y ángulo. Por lo tanto, un vector de forma polar se presenta como: Z = A ∠ ± θ, donde: Z es el número complejo en forma polar, A es la magnitud o el módulo del vector y θ es su ángulo o argumento de A, que puede ser positivo o negativo. La magnitud y el ángulo del punto siguen siendo los mismos que para la forma rectangular de arriba, esta vez en forma polar, la ubicación del punto se representa en una "forma triangular" como se muestra a continuación.

Representación de forma polar de un número complejo

número complejo en forma polar

Como se basa la representación polar de un punto.Alrededor de la forma triangular, podemos usar la geometría simple del triángulo y especialmente la trigonometría y el Teorema de Pitágoras en los triángulos para encontrar tanto la magnitud como el ángulo del número complejo. Como recordamos de la escuela, la trigonometría trata con la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos, por lo que podemos describir las relaciones entre los lados como:

relación trigonometria

Usando nuevamente la trigonometría, el ángulo θ de A se da de la siguiente manera.

ángulo de forma polar

Luego en forma polar la longitud de A y su ángulo.representa el número complejo en lugar de un punto. También en forma polar, el conjugado del número complejo tiene la misma magnitud o módulo, es el signo del ángulo que cambia, por lo que, por ejemplo, el conjugado de 6 ∠30o sería 6 ∠– 30o.

Conversión entre forma rectangular y forma polar

En la forma rectangular podemos expresar un vector.en términos de sus coordenadas rectangulares, siendo el eje horizontal su eje real y el eje vertical su eje imaginario o componente j. En forma polar, estos ejes reales e imaginarios están representados simplemente por "A ∠θ". Luego, utilizando nuestro ejemplo anterior, la relación entre la forma rectangular y la forma polar se puede definir como.

Convertir la forma polar en forma rectangular, (P → R)

conversión de números complejos

número complejo a rectangular

También podemos convertir de forma rectangular a forma polar de la siguiente manera.

Convertir la forma rectangular en forma polar, (R → P)

número complejo a polar

Multiplicación y división de formas polares.

La forma rectangular es mejor para agregar yrestando números complejos como vimos anteriormente, pero la forma polar a menudo es mejor para multiplicar y dividir. Para multiplicar dos vectores en forma polar, primero debemos multiplicar los dos módulos o magnitudes y luego sumar sus ángulos.

Multiplicación en forma polar

multiplicación en forma polar

Multiplicando juntos 6 ∠30o y 8 ∠– 45o En forma polar nos lo da.

multiplicación de formas polares

División en forma polar

Del mismo modo, para dividir juntos dos vectores en forma polar, debemos dividir los dos módulos y luego restar sus ángulos como se muestra.

División en forma polar

división de forma polar

Afortunadamente las modernas calculadoras científicas de hoy.ha incorporado funciones matemáticas (verifique su libro) que permite la conversión fácil de forma rectangular a polar (R → P) y de vuelta de forma polar a rectangular (R → P).

Números complejos usando forma exponencial

Hasta ahora hemos considerado números complejos en el Forma rectangular, (a + jb) y el Forma polar, (A ∠ ± θ). Pero también hay un tercer método para representar un número complejo que es similar a la forma polar que corresponde a la longitud (magnitud) y al ángulo de fase de la sinusoide, pero utiliza la base del logaritmo natural, mi = 2.718 281 .. para encontrar el valor del número complejo. Este tercer método se llama Forma exponencial.

los Forma exponencial Utiliza las funciones trigonométricas tanto del seno como del seno.(sin) y los valores de coseno (cos) de un triángulo rectángulo para definir el exponencial complejo como un punto de rotación en el plano complejo. La forma exponencial para encontrar la posición del punto se basa en La identidad de Euler, el nombre del matemático suizo, Leonhard Euler y se da como:

Forma exponencial

Entonces, la identidad de Euler se puede representar mediante el siguiente diagrama de fasor giratorio en el plano complejo.

Números complejos en forma exponencial.

Podemos ver que la identidad de Euler es muy similar a la forma polar anterior y que nos muestra que un número como Ami que tiene una magnitud de 1 es también un número complejo. No solo podemos convertir números complejos que están en forma exponencial fácilmente en forma polar como: 2mi j30 = 2∠30, 10mi j120 = 10∠120 o -6mi j90 = -6∠90, pero la identidad de Euler también nos da un caminode convertir un número complejo de su forma exponencial en su forma rectangular. Entonces, la relación entre la forma exponencial, polar y rectangular al definir un número complejo se da como.

Formas de números complejos

relación numérica compleja

Notación fasorial

Hasta ahora hemos visto diferentes maneras derepresenta un vector giratorio o un vector estacionario utilizando números complejos para definir un punto en el plano complejo. La notación fasorica es el proceso de construcción de un único número complejo que tiene la amplitud y el ángulo de fase de la forma de onda sinusoidal dada.

Luego, la notación fasorica o la transformación fasorica, como a veces se llama, transfiere la parte real de la función sinusoidal: A(t) = Ametro cos (ωt ± Φ) del dominio de tiempo en el dominio de número complejo que también se denomina dominio de frecuencia. Por ejemplo:

número complejo en forma exponencial

Tenga en cuenta que la √2 convierte la amplitud máxima en una eficaz o valor RMS con el ángulo de fase dado en radianes, (ω).

Resumen de números complejos

Luego resumir este tutorial sobre Números complejos y el uso de números complejos en la ingeniería eléctrica.

  • Los números complejos consisten en dos números distintos, un número real más un número imaginario.
  • Los números imaginarios se distinguen de un número real mediante el uso del operador j.
  • Un número con la letra "j" delante de él lo identifica como un número imaginario en el plano complejo.
  • Por definición, el operador j j ≡ √-1
  • Los números imaginarios se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir de la misma manera que los números reales.
  • La multiplicación de "j" por "j" da j2 = -1
  • En la forma rectangular, un número complejo está representado por un punto en el espacio en el plano complejo.
  • En la forma polar, un número complejo está representado por una línea cuya longitud es la amplitud y el ángulo de fase.
  • En la forma exponencial, un número complejo se representa mediante una línea y un ángulo correspondiente que utiliza la base del logaritmo natural.
  • Un número complejo se puede representar de una de tres maneras:
    • Z = x + jy »Forma rectangular
    • Z = A ∠Φ »Forma polar
    • Z = A mi »Forma exponencial
  • La identidad de Euler se puede utilizar para convertir números complejos de forma exponencial en forma rectangular.

En los tutoriales anteriores incluido este,Hemos visto que podemos usar fasores para representar formas de onda sinusoidales y que su amplitud y ángulo de fase pueden escribirse en forma de un número complejo. También hemos visto que Números complejos se puede presentar en forma rectangular, polar o exponencial con la conversión entre cada forma de álgebra de números complejos que incluye la suma, la resta, la multiplicación y la división.

En los siguientes tutoriales relacionados con el fasor.En relación con los circuitos de la serie AC, analizaremos la impedancia de algunos componentes comunes del circuito pasivo y dibujaremos los diagramas de fasores tanto para la corriente que fluye a través del componente como para la tensión aplicada a través de ella, comenzando con la resistencia AC.

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